El resurgir de Thomas Bayes
| Autor | Agustín Alonso Rodríguez |
| Cargo | Real Centro Universitario «Escorial-María Cristina» San Lorenzo del Escorial |
| Páginas | 329-360 |
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Nos acercamos a uno de los grandes pensadores en el campo de la probabilidad, y buena prueba de su estatura intelectual está en el hecho de que sigue siendo objeto de estudio, tanto su persona como su obra, ya que fue el primero en utilizar la probabilidad de forma inductiva.
Y, sin embargo, es sorprendente los pocos detalles sobre su vida que se conocen. Siguiendo a Barnard (1958), he aquí algunos datos. En el The Dictionary of National Biography, de finales del XIX, se hace mención de su padre, Joshua Bayes, uno de los seis No-Confomistas1 ordenado ministro en Inglaterra, pero nada se dice de su hijo Thomas Bayes. Tampoco se hace referencia a Thomas Bayes en el Imperial Dictionary of Universal Biography, publicado en Glasgow, en 1865, siendo la Encyclopedia Britannica la primera referencia a su persona en una obra de consulta general.
Y en lo que se refiere a España, la EnciclopediaUniversal Ilustrada Espasa no menciona a Bayes hasta la edición de 2005. Con anterioridad a esa fecha, sí lo hacen la Gran Enciclopedia Rialp y la Nueva Enciclopedia del Mundo, de Durvan Ediciones (Club Internacional del Libro).
Siguiendo a Barnard (1958), podemos destacar los siguientes detalles biográficos.
Nació en Londres en 1702. Fue el mayor de los hijos de Ana y Joshua Bayes. Fue educado privadamente, como era costumbre entre los No-Conformistas de entonces. Page 330
Cuando tenía unos doce años, Bernoulli escribía a Leibniz diciendo que el «pobre» De Moivre vivía en Londres teniendo que dar clases de matemáticas, lo que permite especular que quizás Thomas Bayes aprendió matemáticas de uno de los fundadores de la teoría de la probabilidad.
Tras ser ordenado ministro, Thomas comenzó su actividad pastoral ayudando a su padre, que por entonces recibió el cargo de ministro presbiteriano en la casa de encuentros, en Leather Lane, cerca de Holborn. Más tarde, pasó a ministrar en la capilla presbiteriana de Little Mount Sion, en Tunbridge Wells, abierta el primero de agosto del año 1720, si bien no parece que él fuera la persona que inaugurara la capilla. Allí se encontraba, en 1731, cuando publicó el tratado con título Divine Benevolence or an attempt to prove that the Principle End of the Divine Providence and Government is the happiness ofHis Creatures, o un intento de probar que la principal finalidad de la Divina Providencia y Gobierno era la felicidad de sus criaturas.
La obra fue publicada por el editor John Noon, quien, en 1736, publicó An Introduction to the Doctrine ofFluxions and a Defence of the Mathematicians against the objections of the Author of the Analyst. La obra apareció sin autor, si bien sus contemporáneos la atribuyeron a Thomas Bayes, y a él aparece atribuida en el Cátalogo del British Museum. Esta obra es una refutación del analista, el obispo anglicano George Berkeley, en sus ataques a los matemáticos, que en sus controversias y análisis no buscaban más que deducciones lógicas y no el hacer mejores a los hombres. Bayes argumenta que la labor de los matemáticos es hacer inteligibles y razonadas las nociones y conceptos que tratan. Es posible que este tratado tuviera algo que ver con su elección como Fellow de la Royal Society, en 1742.
William Whiston, sucesor de Newton en la cátedra «Lucasian», en la Universidad de Cambridge, refiere su admiración y respeto por Bayes al calificarlo como «a very good mathematician».
En opinión de Strange (1949), parece ser que Bayes quiso dejar su ministerio hacia 1749. No lo logró hasta 1752, cuando, tras diversos avatares, fue sucedido por el reverendo William Johnston, la persona que heredó la valiosa biblioteca de Bayes.
Bayes continuó viviendo en Tunbridge Wells hasta su muerte, el 17 de abril de 1761. Fue enterrado junto a sus padres y hermanos en el cementerio de los No-Conformistas de Bunhill Fields. En este cementerio reposan también los restos de su amigo el reverendo Page 331 Richard Price, quien un año después de la muerte de Bayes, 1763, publicó su famoso tratado: An essay towards solving a problem in the Doctrine ofChances.
En la reimpresión de este estudio publicada por Biometrika, volumen 45, diciembre de 1958, encontrará el lector la «Introducción» de G. A. Barnard, base de los rasgos biográficos aquí señalados, así como la presentación y comentarios de Richard Price en su escrito de solicitud al presidente de la Royal Society, John Canton para la publicación del ensayo de Bayes en The Philosophical Transactions ofthe Royal Society.
Hay que destacar que el escrito de solicitud de Price no es una mera carta de solicitud: es un comentario laborioso y documentado del pensamiento de Bayes para facilitar la decisión de John Canton, que pudiera no tener tiempo para una revisión a fondo del ensayo, antes de la publicación. Tanto es así que Price se considera el único responsable de los posibles errores que pudieran aparecer. Esto parece delatar las muchas horas de discusión y análisis entre ambos amigos. La petición de Price lleva la fecha del 10 de noviembre de 1763.
Price pone de relieve que el tratado de De Moivre sobre las leyes de la probabilidad (Laws of Chance) en su obra Doctrine of Chances, no eran suficientes para resolver la denominada probabilidad inversa, el converse problem, enfatizando Price que el problema resuelto por Bayes no había sido antes resuelto por nadie.
Price se permite afirmar que el propósito de Bayes era el poder pasar de las causas causadas a la existencia de la Causa Incausada, es decir, a la existencia de la Deidad2. Page 332
Por último, destacar que el ensayo de Bayes arranca directamente con el planteamiento del problema que desea tratar. En sus propios términos escribe:
PROBLEM
Given the number of times in which an unknown event has happened and failed: Required the chance that the probability of its happening in a single trial lies somewhere between any two degrees of probability that can be named.
Siguen luego una serie de definiciones y el resto de la argumentación.
Aquí comenzaremos deduciendo el teorema de Bayes, en términos de la teoría elemental de la probabilidad, para luego exponer la dirección que ha dado al teorema su vigente actualidad.
A fin de mostrar la simplicidad e inmediatez de este famoso teorema, es necesario recordar los fundamentos, comenzando por un par de conceptos.
En primer lugar, por experimento aleatorio se entiende aquel experimento cuyo resultado no es predecible con exactitud, aun repitiéndolo en igualdad de condiciones. El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se conoce como el espacio muestral, simbolizado aquí por U, y por evento, se entiende uno cualquiera de los posibles resultados de un experimento aleatorio, simbolizados por las letras mayúsculas: A, B, etc.
El razonamiento lógico plausible requiere, como punto de partida, la compatibilidad con los axiomas establecidos por Kolmogorov (1933), que son los siguientes:
Axioma 1. Para todo evento (Fórmula en Documento Pdf) , es decir, la probabilidad es una magnitud no negativa.
Axioma 2. (Fórmula en Documento Pdf), la probabilidad del espacio muestral, el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, es la unidad.
Axioma 3. Si (Fórmula en Documento Pdf) son dos eventos mutuamente excluyentes o disjuntos, entonces P{Au ñ) = + f\ ti). Page 333
A partir de estos axiomas, tenemos las siguientes reglas de operación con probabilidades.
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(Fórmula en Documento Pdf), la probabilidad del evento vacío es cero. El evento vacío es el evento resultante de la intersección de dos eventos excluyentes o disjuntos.
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(Fórmula en Documento Pdf), siendo A el complemento del evento A.
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(Fórmula en Documento Pdf), es decir la probabilidad de la unión de dos eventos cualesquiera es la suma de las probabilidades singulares menos la probabilidad de la intersección.
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Si ambos eventos fueran independientes, entonces
(Fórmula en Documento Pdf)
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Para dos eventos A y B, la probabilidad marginal de A, por ejemplo, viene dada por (Fórmula en Documento Pdf), decir, su probabilidad es la suma de las probabilidades de los dos eventos disjuntos posibles.
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Para dos eventos A y B, la probabilidad de B condicionada a A, se expresa como.
(Fórmula en Documento Pdf)
En palabras, la probabilidad condicionada de B, una vez sabido que se ha dado el evento A, es proporcional a la probabilidad conjunta de ambos eventos, ponderada por la probabilidad del evento condicionante. La situación viene representada en la figura 1.
Figura 1
(Figura en Documento Pdf) Page 334
Conviene señalar que el evento B no es observable, mientras que A es el evento observable, que pasa a ser el espacio muestral reducido de este experimento. Cabría escribir la probabilidad condicionada como P(A | B), pero los eventos A y B no son simétricos, y por eso, la probabilidad condicionada se indicará como P(B | A).
Como corolario de esta regla, está el hecho de que de ser A y B eventos independientes, entonces la P(B | A)= P(B), que pone de relieve como el conocimiento del evento A en nada afecta a la probabilidad del evento B.
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Si reordenamos, al menos formalmente, los roles del los eventos A y B, en la regla anterior, tenemos:
(Fórmula en Documento Pdf)
Si bien es necesario repetir que A y B no son eventos equivalentes. Es decir, la ocurrencia o no ocurrencia de B no es observable, mientras que A es un evento observable, que puede...
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