Anexos
| Autor | Manuel Guerrero Cuadrado |
| Páginas | 285-313 |
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Abordaremos a continuación una aproximación a la génesis, evolución, significado y aplicación de la Teoría Científica del Caos.
Recordemos, de forma somera, algunos conceptos básicos, relativos a los sistemas dinámicos. Los sistemas dinámicos son sistemas que evolucionan en el tiempo, básicamente de tres formas:
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De forma estable. El sistema tiende a un punto o a una órbita, que se denomina atractor, y cuya forma depende de las dimensiones del propio sistema.
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De forma inestable. El sistema no se siente atraído por un atractor sino que se escapa de él. Estos sistemas poseen como una de sus características básicas la gran dependencia de sus condiciones iniciales, de forma que, conociendo tanto sus condiciones iniciales como sus ecuaciones, podemos conocer con exactitud su evolución en el tiempo.
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De forma caótica. El sistema posee una doble evolución. Por un lado, es atraído por un atractor y simultáneamente otras fuerzas lo alejan de él. Este doble efecto produce el hecho de que el sistema se vea «atrapado» en una zona de su espacio donde se localizan sus posibles estados. Una característica diferenciadora de estos sistemas es que poseen una gran sensibilidad a sus condiciones iniciales, de forma que al producirse una mínima variación en ellas su evolución es totalmente diferente e impredecible, provocan un comportamiento y evolución desordenados (no pre-
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vistos) que suele calificarse de caos, y representan la antítesis de los modelos de sistemas considerados en la física clásica teórica como regulares38, cuya evolución era predecible y representaban el paradigma de la regularidad poderosa en la física teórica.
De forma añadida, podemos comentar que un sistema dinámico es un sistema que presenta un cambio o evolución de su estado a lo largo del tiempo. El comportamiento en dicho estado se puede caracterizar determinando los límites del sistema, los elementos que lo componen y sus relaciones. Merece comentar que un sistema dinámico está formado por:
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Un conjunto de elementos en interacción o no, según sea o no complejo.
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El comportamiento del sistema se puede mostrar a través de los diagramas causales.
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Las variables que pueden ser endógenas (el propio sistema las provoca) o bien exógenas (afectan al sistema sin que este las provoque).
Recordemos algunas definiciones sobre los sistemas. Los sistemas pueden clasificarse en discretos o continuos, lineales o no lineales, estables, no estables o caóticos, complicados o complejos.
Un sistema dinámico se denomina discreto si la medición del tiempo se realiza por pequeños lapsos o intervalos del mismo (se expresa por una ecuación logística). Un sistema dinámico se denomina continuo cuando el tiempo se mide de forma continua (se expresa por una ecuación diferencial). Un sistema dinámico lineal es aquel que solo depende de forma lineal de una variable (Xn+1 = K * Xn, donde K es un valor numérico). Se cumple que la suma de sistemas dinámicos lineales también es lineal (principio de superposición). Un sistema dinámico no lineal se expresa a través de una ecuación no lineal, resulta difícil de analizar y presenta comportamiento imprevisible (caos). Un sistema dinámico estable tiende a un punto o a una órbita determinado, según su dimensión. El punto u órbita hacia el que tiende el sistema a lo largo del tiempo se denomina sumidero o atractor. Un sistema dinámico inestable no tiende a lo largo del tiempo hacia un atractor sino que se escapa de ellos. Una de las características más importante de este tipo de sistemas es que tienen una gran dependencia de sus condiciones iniciales; por ello, conociendo sus condiciones iniciales fijas, y conociendo las ecuaciones que lo definen, se puede conocer con exactitud su evolución en el tiempo. Un sistema dinámico caótico evoluciona en un doble sentido. Por un lado se ve atraído por un atractor y al mismo tiempo existen otras fuerzas que lo alejan de este. Ello produce que el sistema se vea «atrapado» en una zona de su espacio de estados posibles, pero sin tender hacia un atractor fijo. Una característica fundamental de este tipo de sistemas es que al producirse una mínima variación en sus condiciones iniciales su evolución es totalmente diferente. Es
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decir, son sistemas dinámicos con una gran sensibilidad a sus condiciones iniciales. A este tipo de sistemas se aplica la Teoría Científica del Caos. Un sistema dinámico complejo es el que está compuesto por varias partes interconectadas cuyos vínculos aportan información adicional, no visible por el observador. Es decir, existen variables ocultas cuyo no conocimiento nos impide analizar el sistema con precisión. Son sistemas complejos el tiempo atmosférico, los seres vivos, los ecosistemas, las ciudades y las sociedades, entre otros. Por el contrario, el sistema complicado está formado por distintos componentes cuyos enlaces no aportan información adicional. En este tipo de sistema, conociendo cómo funciona cada componente conoceremos cómo funciona el propio sistema.
A los sistemas dinámicos, complejos y con gran sensibilidad a las condiciones iniciales se aplica la Teoría Científica del Caos. En la hipótesis de la frontera del caos se establece que la complejidad aparece en unas condiciones muy especiales conocidas como puntos críticos o de bifurcación. En dichos momentos, orden y desorden coexisten, formándose estructuras fractales (un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular se repite a diferentes escalas).
Uno de los aspectos de mayor intriga en la física de los sistemas ha sido el entendimiento de los sistemas complejos. A lo largo de su evolución, la física teórica se ha enfrentado en diversas ocasiones a sistemas complejos que no podían analizarse o entenderse pues un gran número de grados de libertad inter-na, a escala microscópica, parecía impedirlo. Sin embargo, a finales del siglo xx se apercibió que una dinámica de una gran complejidad podría provenir de un sistema simple con muy pocos grados de libertad pero con una gran sensibilidad en sus condiciones iniciales. A partir de este momento, está aceptado que un sistema complejo puede tener una evolución dinámica muy compleja así como que se produce el hecho de que sistemas simples de definir, con muy pocos grados internos de libertad, pueden tener una evolución dinámica caótica, en el sentido científico. Hagamos, a continuación, un breve repaso de la evolución científica desde el determinismo a la Teoría del Caos.
Evolución histórica desde Newton a la Teoría Científica del Caos
Newton y las condiciones iniciales
Aunque pueda parecer sorprendente, para algunos autores como Lurçat F., 2006, físico, profesor emérito de la Universidad de París XI, Newton representa el primer peldaño en la comprensión del caos científico, tanto desde un punto de vista físico y matemático como desde la historia de las ideas. François Lurçat en su conferencia sobre «El Caos y Occidente», 2006, expone que Newton, en su estudio de los movimientos de los planetas y la Luna, renuncia a buscar una explicación total de la forma y de los movimientos del sistema solar como habían buscado sus predecesores hasta Keppler J., y no explica ni el nú-
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mero de los planetas conocidos en su época, ni los valores de sus distancias respectivas al Sol. El núcleo esencial de los descubrimientos de Isaac Newton es el situar la posición de un planeta determinado en un instante determinado, así como su velocidad en ese instante determinado. Esa posición y esa velocidad en un instante determinado son denominadas las condiciones iniciales. Por ello, afirma Luçart, la dinámica creada por Newton no explica ni predice estas condiciones iniciales simplemente las acepta sin más, y permite dar respuesta a partir de unas condiciones iniciales, en un instante determinado, a cuál será el movimiento posterior. Esta solución la determina la ley del movimiento cuya forma matemática es el cálculo diferencial, creado precisamente por Newton para resolver este problema.
Laplace y el determinismo
La investigación de Laplace H., sobre el problema que estudia el movimiento de tres cuerpos (Sol, Tierra y Luna), se sustenta en la hipótesis que acepta el hecho de que los tres cuerpos se encuentran aislados del resto del universo. Esta investigación pretendía determinar si el sistema solar es «estable» a largo término o bien si uno de los cuerpos tiene el riesgo de colisionar algún día con otro cuerpo o ser lanzado desde el sistema solar hacia el infinito. Para Laplace el estado presente del universo es el efecto de su estado anterior y es la causa del estado que seguirá. Por ello, si fuera posible conocer, por un instante, todas las fuerzas que anima a la naturaleza y a los respectivos seres que la componen, se podría recoger bajo la misma fórmula los movimientos de los mayores cuerpos del universo así como el del más ligero de los átomos. En ese momento, el futuro así como el pasado estaría presente ante nuestros ojos.
Lyapunov y la divergencia
El 12 de octubre de 1892, Lyapunov A. en su tesis doctoral «El problema general de la estabilidad del movimiento», presentada en la universidad de Moscú, introduce la idea de medir la divergencia posible entre dos órbitas surgidas de condiciones iniciales próximas. Cuando esta divergencia crece exponencialmente con el tiempo, para unas condiciones iniciales muy próximas de un punto dado, se produce el fenómeno de la sensibilidad a las condiciones iniciales. Las ideas de Lyapunov aportan una medida cuantitativa de esta diver-gencia exponencial local. Este horizonte de previsibilidad, relacionado...
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